Understanding Analysis 를 공부하고 정리합니다.
1.1 $\sqrt2$는 무리수 일까?
제곱이 2가 되는 유리수는 없습니다.
귀류법으로 위 정리를 증명할껀데요. 귀류법은 정리의 모순을 참으로 가정하고 논리적 단계를 통해 오류가 존재하면 정리가 참이라는 것을 입증합니다.
따라서 제곱이 2가 되는 유리수가 존재한다는 가정부터 시작하겠습니다. 참고로 유리수는 (p/q)로 나타내어지는 수를 말합니다.
위 식에서 p와 q는 유리수이고 서로수라고 가정하겠습니다. 공약수가 존재하면 기약 분수 꼴로 다시 작성합니다.
위 식은 다음과 같이 풀어쓸 수 있습니다.
이 경우에 p는 2로 나누어 지므로 짝수라는 것을 알 수 있는데요. 홀수는 제곱해도 홀수이기 때문입니다.
이제 p는 짝수이므로 p=2r을 p에 대입합니다.
위 식을 통해서 q도 2로 나누어지므로 짝수라는 것을 알 수 있습니다.
그러면 q와 p 모두 짝수라는 건데.. 처음에 저희는 p/q가 기약분수라는 것을 가정했으므로 가정에 위배됩니다. 따라서 제곱이 2가 되는 유리수는 존재하지 않습니다.
$\sqrt{2}$가 무리수라는 사실은 고대 그리스인들은 받아들일 수가 없었습니다. 그들에게는 모든 수가 유리수라고 생각했기 때문입니다.
그리스인은 두 직선이 주어지면 하나의 직선과 유리수의 곱으로 다른 직선을 표현할 수 있다는 가정을 참으로 받아들였는데요. 이는 $\sqrt{2}$가 무리수라는 사실에 길이와 수가 서로 대응하지 않다고 받아들입니다. $\sqrt{2}$ 길이를 가진 직선은 어떠한 유리수로도 표현할 수 없으니까요.
이 한계점을 극복하려면 수 체계를 확장해야 합니다.
자연수부터 시작하겠습니다.
자연수에서 덧셈은 아무 문제가 없는데요. 하지만 뺄셈 연산을 할때 문제가 발생합니다. 덧셈의 항등원(0)과 덧셈의 역원이 존재하지 않기 때문입니다. 따라서 자연수를 정수로 확장합니다.
정수에는 덧셈의 항등원과 역원이 존재하네요. 곱셈의 항등원(1)은 존재하지만 곱셈의 역원이 존재하지 않습니다. 곱셈 연산이 원활하게 이루어지기 위해서 정수를 유리수로 확장합니다.
이제 곱셈의 역원이 존재하게 되어 곱셈 연산은 문제 없습니다.
이 유리수의 성질은 체(field)라고 불리는 것의 정의로 구성되는데요. 체가 무엇인지 설명하겠습니다.
체는 어떤 집합입니다. 이 집합은 덧셈과 곱셈이 잘 정의된 공간인데요. 잘 정의된 연산은 덧셈과 곱셈에 교환 법칙, 분배 법칙, 결합 법칙이 성립합니다. 또, 모든 수에 대해 덧셈의 항등원과 역원이 존재해야 합니다. 마지막으로 덧셈의 항등원이 존재하고 모든 0이 아닌 수에 대해 곱셈의 역원이 존재해야 합니다.
이 유리수는 순서를 갖고있습니다. 두 개의 유리수 r, s가 주어지면 다음 중 하나는 무조건 참이 성립합니다.
유리수를 직선 위에서 놓여있다고 상상할 수 있는데요.
유리수와 유리수 사이에는 조밀하게 수들이 채워져 있습니다. 하지만 무리수가 존재하는 곳에 구멍이 뚫려있죠, 이 무리수를 근사할 수 있지만 구멍을 채울 순 없습니다.
무리수를 포함하는 수 체계는 실수인데요. 이 실수는 유리수에서 구멍을 모두 채워서 얻어진다고 해도 부정확하진 않습니다. 이는 1.3단원과 8.6단원에서 더 논의합니다.