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Conics and dual conics conic은 평면에서 2차식으로 표현되는 곡선입니다. Euclidean geometry에서 conics은 3개의 유형이 있습니다. 쌍곡선(hyperbola), 타원(ellipse), 포물선(parabola)입니다. 일반적이로 이 conic의 세 가지 유형은 평면에 의해 생성된 원뿔 곡선(conic section)에 따라 생성됩니다. conic 방정식은 inhomogeneous coordinate으로 2차 다항식으로 표현합니다. 이를 homogeneous coordinate로 다음과 같이 표현합니다. 이차형식(quadratic form)에 의해 conic coefficient 행렬 C는 다음과 같이 주어집니다. conic 계수 행렬은 대칭입니다. 점과 선의 homo..

A model for the projective plane 사영 공간(projective space) P^2는 Euclidean 공간 R^3에서 원점을 지나는 모든 직선의 집합으로 생각할 수 있습니다. k에 따라 변화하는 모든 벡터 k(x1,x2,x3)^T의 집합은 원점을 지나는 직선을 형성합니다. 이러한 직선은 사영 공간 P^2에서 한 점을 나타냅니다. 이러한 관점으로 P^2에서 선은 원점을 지나는 평면을 의미합니다. 두 직선은 한 평면에 놓여있고, 임의의 두 평면은 직선에서 교차합니다. P^2 공간에서는 스케일 값에 관계없이 한 점을 유일하게 정의할 수 있으므로 마지막 항 x3로 좌표값을 나눈 (x1/x3, x2/x3, 1)을 일반적으로 한 점을 표현하는 대표값으로 간주합니다. R^3 공간 상의 원점..

평행한 선의 교점(Intersection of parallel lines) 두 평행한 직선은 유클리드 공간에서는 만나지 않지만, 사영 공간 $P^2$에서는 만납니다. 두 선 ax + by + c = 0과 ax + by + c' = 0을 고려하겠습니다. 이 둘은 l = (a, b, c)^T 와 l' = (a, b, c')^T로 나타낼 수 있습니다. 이 둘의 교점을 구하는 것은 어렵지 않습니다. 이전 포스팅에서 배웠던 것 처럼 두 선을 외적하면 됩니다. 여기서 scale factor (c' - c)를 무시하면, 아래와 같은 교점이 됩니다. 이 점을 inhomogeneous로 표현하면, 아래와 같습니다. 이는 2 차원 euclidean 공간에서 유한한 점에 해당하지 않습니다. 이를 homogeneous coo..

선의 동치 표현(Homogeneous representation of lines) 평면에 존재하는 선은 ax + by + c = 0 과 같은 방정식으로 표현될 수 있습니다. 이를 직선의 방정식이라고 하는데, 어떤 a,b,c를 선택하느냐에 따라 다른 선이 됩니다. 따라서, 선은 일방적으로 벡터 (a,b,c)^T로 표현합니다. 이는 열벡터를 의미합니다. 선과 벡터 (a,b,c)^T는 one-to-one 대응이 아닙니다. 동치 좌표(homogeneous coordinates)에 의해서 선 ax + by + c = 0은 선 (ka)x + (kb)y + (kc) = 0와 동일합니다. 따라서, 벡터 (a,b,c)^T와 k(a,b,c)^T는 동일한 선을 나타냅니다. 그리고 이러한 관계에 있는 벡터들을 동치류(equi..

사영 공간(projective space) projective transformation을 적용한 후에 어떤 geometry 성질이 보존될까요? shape, length, angls, distance, ratios of distance는 아닙니다. 원이 타원으로 나타날 수 있고, projective transformation에서 두 원이 서로 다른 정도로 stretch되면 반지름이 달라집니다. 오직 straightness만이 보존됩니다. 왜 projective geometry가 필요한지 알기 위해서 Euclidean geometry부터 시작해야 합니다. 유클리디안 기하학은 angles와 shapes of object를 설명합니다. 하나의 관점에서 유클리디안 기하학은 골치거리입니다. 두 선이 interse..