A model for the projective plane
사영 공간(projective space) P^2는 Euclidean 공간 R^3에서 원점을 지나는 모든 직선의 집합으로 생각할 수 있습니다. k에 따라 변화하는 모든 벡터 k(x1,x2,x3)^T의 집합은 원점을 지나는 직선을 형성합니다. 이러한 직선은 사영 공간 P^2에서 한 점을 나타냅니다. 이러한 관점으로 P^2에서 선은 원점을 지나는 평면을 의미합니다. 두 직선은 한 평면에 놓여있고, 임의의 두 평면은 직선에서 교차합니다.
P^2 공간에서는 스케일 값에 관계없이 한 점을 유일하게 정의할 수 있으므로 마지막 항 x3로 좌표값을 나눈 (x1/x3, x2/x3, 1)을 일반적으로 한 점을 표현하는 대표값으로 간주합니다. R^3 공간 상의 원점을 지나는 직선과 x3=1인 평면이 교차하는 점이 곧 P2 공간 상의 한 점이 됩니다.
점과 선들은 x3=1인 평면과 직선들의 집합을 교차함으로써 얻어집니다. 위 그림에서 이상점을 나타내는 직선과 무한대 선을 나타내는 평면은 x3=1인 평면과 평행입니다.
대칭성(Duality)
사영 공간 P^2에서는 점과 직선이 대칭성(Duality)를 갖습니다. 점과 직산이 점과 직선의 성질에 해당하는 공식이 교환됩니다. 특히, basic incidence equation, 직선위에 놓여있는 점과 그 해당하는 직선 사이의 내적은 0인 공식에서 점과 직선의 위치가 교환됩니다.
이와 비슷하게, 두 선의 교점과 두 점을 지나는 선의 공식은 동일합니다.
이를 대칭성 원리(duality principle)이라고 하고 정의는 다음과 같습니다.
2차원 사영 공간에서 대칭 이론이 존재합니다. 이 대칭 이론은 기본 이론에서 점과 선의 역할을 교환함으로써 유도됩니다.
참고자료
[1] https://edward0im.github.io/
[2] Multiple View Geometry in Computer Vision