[Bayesian] 집합론(Set Theory)

https://www.edwith.org/bayesiandeeplearning/joinLectures/14426

Bayesian Deep Learning 강좌소개 : edwith

 

 최성준님의 Bayesian Deep Learning 강의를 정리합니다.

---

집합론(Set Theory)

 

set, element, subset, universal set, set operations

 

universal set

 - 전체 셋

 

set operation

 - 셋을 갖고 연산을 수행하는 것

 

disjoint sets

 - A $\cap$ B = $\phi$

 - 두개의 셋사이에 겹치는 것이 없는것

 

partition of A

 - A = {1, 2, 3, 4}, partition of A: {{1,2},{3}.{4}}

 - set을 disjoint set들로 나누는 것을 의미. 대신 전체 set을 포함할 수 있게 나눈다.

 - {1,2} 와 {3}은 disjoint set이고 각 disjoint set의 합집합은 전체 set을 포함한다.

 - 겹치지 않는 셋들로 전체 set(universal set)을 표현하면 그것이 partition 이 된다.

 

Cartesian product

 - A X B = {(a,b) : a $\in$ A, b $\in$ B}

 - 각각의 두 개의 set이 있을 때 각각의 set의 요소를 한개씩 갖고 오는 것.

 - 요소를 한개씩 갖고오면 쌍들이 되는데, 이 쌍들의 집합이 cartesian product

 - R2 space가 대표적. R와 R의 cartesian product가 R2 공간이 된다.

 

power set $2^A$

 - A가 가질 수 있는 모든 subset의 집합

 

Cardinality $\mid A \mid$

 - set에 있는 개수를 센다.

 - set이 finite인 경우에 셀 수 있지만 무한대인 경우에 곤란

 - 두 set 사이에 ono-to-one correspondence가 존재하면 cardinaliry가 같다. 

 

countable

 - 자연수의 집합과 관심 있는 집합 사이에 ono-to-one이 있으면 countable이라고 한다.

 - 정수, 자연수 사이의 cardinality는 같다. 자연수와 정수 집합 사이에 one-to-one이 성립하므로 countable

 

denumerable

 - countably infinite

 - 자연수, 정수 집합 처럼 1개씩 셀 수 있는데 무한대인 경우 denumerable

 - 모든 denumerable set은 cardinality가 갖고 aleph null 로 표기한다.

 - 자연수의 개수라고 생각하면 된다. 자연수의 개수는 정수의 개수, 분수의 개수와 동일

aleph null

 

 

uncountable

 - countable은 셀 수 있이 무한대인데 uncountable은 셀 수 없다. 

 - uncountable set의 cardinality를 c, continuum 이라고 부른다.

 - continuum은 2의 aleph null 승이라고 부른다.

cuntinuum

 - 0과1 사이의 실수 개수는 무한대(continuum)인데 이 무한대는 정수의 수인 무한대(aleph hull)와 다르다.

 

---

 

function or mappin $f : U \to V$

 - set에 있는 요소에서 다른 set에 있는 요소로 보낸다.

 

domain U

 - 함수의 입력값이 될 수 있는 집합

 

codomain V

 - 함수의 출력값이 될 수 있는 집합

 

image f(A)

 - A라는 셋이 함수를 거쳐서 codomain의 subset 

 

range f(U)

 - 전체 domain이 함수에 입력되었을 때, 그에 해당하는 codomain에서의 공간

 

inverse image or preimage

 - codomain에서 정의된 set들이 원래 있던 U 공간에서 얼만큼의 영역을 차지할지, 그에 해당하는 subet들이 inverse image 혹은 preimage 라고 함

 

 

 domain U가 f를 통과하여 codomain V로 가는데 모든 V의 요소를 포함할 필요는 없다. image는 range일 필요가 없다. 

 

 

ono-to-one or injective

 - f(a) = f(b) -> a = b

 - domain 요소가 codomain 요소 하나씩만 매핑

 

onto or surjective

 - f(U) = V

 - domain이 f를 통과하면 codomain을 다 커버하는 경우 onto

 

invertible or bijective

 - one-to-one과 onto 둘 다 만족