[통계학] 06-2. 조건부 확률 (2) - 독립사건

 

(통계학-기본개념과 원리, 여인권)을 바탕으로 제작하였습니다.

(k-mooc 통계학의 이해1, 여인권)을 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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 조건부확률의 특별한 형태인 독립사건의 정의와 관련 문제에 대해서 알아보겠습니다.

 

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1. 독립사건 - independent events

 이전에 공부했던 조건부확률을 이용하면 교사건을 연속적인 조건부확률의 곱으로 계산할 수 있음을 보았습니다.

 어떤 특별한 조건에서는 위의 교사건이 개별 사건의 곱으로 표시되는 경우가 있습니다. 만약 사건 $A$가 사건 $B$의 발생에 영향을 주지 않는다면 $P(B \mid A) = P(B)$로 쓸 수 있습니다. 또한 사건 $B$가 사건 $A$에 영향을 주지 않는 다면 $P(A \mid B) = P(A)$로 쓸 수 있습니다. 이와 같이 사건 A와 B가 서로 영향을 주고받지 않는 경우, 독립사건이라고 합니다.

 

독립사건이란?

 사건 A와 B가 서로 영향을 주고받지 않는 경우, '사건 A와 B는 독립사건 또는 독립적이다.' 라고 합니다. 독립은 문제를 단순하게 만들어 모형화가 수월해진다는 장점이 있어 많은 부분에서 독립조건을 만족한다고 가정합니다. 주의할 점으로는 배반사건과 독립사건을 혼동하면 안됩니다. 독립사건을 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 이 식이 성립하면 'A와 B는 독립사건이다.'라고 합니다. 이를 만족하지 않는 경우 '두 사건은 종속사건(dependent events) 또는 종속적이다라고 합니다.

 

 또한 표본공간과 공집합은 임의의 사건 $A$와 독립적입니다.

 

 또한 $A$와 $B$가 독립사건이면 사건 $A$와 $B^c$도 독립사건입니다. 이를 이용하면 $A^c$와 $B$도 독립사건이고 $A^c$와 $B^c$도 독립사건입니다. 이를 수식으로 나타내보겠습니다.

 $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$이므로 $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$가 됩니다. 만약 $A$와 $B$가 독립사건이면 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$이므로 다음과 같은 식이 성립하게 됩니다.

$$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B)$$

$$= P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(B^c)$$

 

 

 

 

독립사건 예시 문제

 

1번 문제

두 개의 정육면체 주사위를 던지는 실험에서 두 주사위의 합이 6인 사건을 $A$, 두 주사위의 합이 7인 사건을 $B$, 첫 번째 주사위의 눈이 3인 사건을 $C$라고 하면 다음과 같이 됩니다.

  A와 C가 독립인지 확인해 보도록 하겠습니다.

 $P(A \cap C)$ = $P$({(3,3)}) = $\frac{1}{36}$  $\neq$  $P(A)P(B)$ = $\frac{5}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{5}{216}$

 이므로 A와 C는 독립이 아닙니다.

 

 B와 C가 독립인지 확인해보도록 하겠습니다.

 $P(B \cap C) = P(3,4) = \frac{1}{36} = P(B)P(C) = \frac{6}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{1}{36}$

 B와 C는 독립임을 확인할 수 있습니다.

 

 이는 두 주사위의 합이 얼마인가에 따라 첫 번째 주사위의 값과 독립적일 수도 있고 아닐 수도 있다는 것을 보여줍니다. 합이 6이라는 것은 첫 번째 주사위가 6이라는 값을 가지지 못하게 만들지만 합이 7인 것은 첫 번째 주사위가 모든 값을 가질 수 있기 때문에 첫 번째에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 그러므르 합이 7이 아닌 사건은 첫 번째 주사위의 값과 독립적이지 않습니다.

 

 

2번 문제

 주사위 3개를 던지는 경우 6이 최소한 한 번 이상 나올 확률을 구해보겠습니다. 주사위 눈이 6인 경우 최소한 한 번 이상 나올 사건을 $A$라고 하고 $i$번째 주사위 눈이 6인 사건을 $A_i$라고 하면 다음과 같이 됩니다.

$$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - P(A^c_1 \cap A^c_2 \cap A^c_3)$$

 여기서 $A_i$들은 서로 독립적이므로 $A_i^c$도 독립적입니다. 그러므로 $A$의 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$P(A) = 1- ( \frac{5}{6} )^3 = 0.4213$$

 

 

3번 문제

전기전달시스템

 어떤 전기전달시스템이 그림과 같이 세 개의 ON/OFF 스위치로 구성되어 있다고 하겠습니다. 스위치 $A, B, C$가 ON일 확률은 각각 0.7, 0.8, 0.6입니다. 그리고 스위치 $A$와 $B$는 직렬로 구성이 되어 있고 $C$와 $A$는 병렬로 구성되어 있습니다.

 전기가 전달될 사건은 $C \cup (A \cap B)$로 나타낼 수 있습니다. 또한 각각의 스위치가 독립적으로 세팅되어 있다고 가정하겠습니다. 전기가 전달될 확률을 구해보겠습니다.

 

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 이상으로 조건부확률의 특별한 형태인 독립사건의 정의와 관련 문제에 대해서 알아보았습니다. 감사합니다.