(k-mooc 통계학의 이해2, 여인권)을 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.
구간추정의 주요개념과 과정을 알아보겠습니다.
1. 구간 추정
구간추정은 미지의 모수가 포함될 것으로 기대하는 범위를 확률적으로 택하는 과정입니다.
관심모수가 라고 하면 구간추정에서는 아래 식과 같이 를 포함할 확률이 1-인 구간 [L, U]를 구합니다.
여기서 [L, U]를 신뢰구간(confidence interval)이라고 합니다.
L과 U는 확률변수로 이를 유도하는데 점추정량이 중심적 역할을 합니다.
또한 100(1-)%를 신뢰수준(confidence level)이라고 합니다.
2. 모평균 에 대한 95% 신뢰구간
모집단을 로 가정하고 를 알고 있다고 하겠습니다.
표본추출하면 ~ iid 입니다.
의 점추정량은 입니다.
를 표준화하면 다음과 같습니다.

여기서 Z는 모수와 통계량으로 이루어져 있고 분포는 미지수를 포함하지 않습니다.
Z를 중심축량(pivotal quantity, 주축량)이라고 합니다.
모평균 에 대한 95% 신뢰구간을 구해보겠습니다.

95% 신뢰구간에서 -1.96과 1.96 대신 확률을 만족시키는 다른 값을 사용할 수 있습니다.


3. 예시문제
파이에 포함된 칼로리의 모평균
파이의 칼로리는 표준편차가 8인 정규분포를 따른다고 가정하겠습니다.
16개의 파이를 무작위로 조사했을 때 표본평균(kcal)이 =162.7이면 모평균의 95% 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

위의 구간 (158.78, 166.62) 사이에 모평균이 있을 확률은 0.95인가? 아닙니다.

여기서 L과 U는 확률변수이지만 는 상수이므로 판단할 수 없습니다.
베이지안 추론인 경우에는 를 확률변수로 취급하므로 맞다고 할 수 있습니다.
또한 이를 빈도론자(frequentist) 관점에서 보도록 하겠습니다.

이는 표본추출을 하여 를 100번 만들었을 때 95%는 표본공간이 신뢰구간에 포함하고 5%는 포함하지 않는것을 의미합니다.

4. 정리

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