[통계학] 분산분석 - 변량효과모형 - 요인이 하나, 수준을 무작위

 여인권 교수님의 KMOOC 강의 <통계학의 이해 2>를 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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 요인이 하나이고 수준을 무작위로 선택한 경우, 처리효과를 확인하기 위해 어떻게 모형을 설정하는지 알아보겠습니다.

 

 변량효과 모형의 결과 해석과 어떤 모수에 대해 추론하는지 알아보겠습니다.

 

변량효과모형 - Random Effect Models

 변량효과모형은 분석에 적용할 수준 집합으로부터 무작위로 선택하는 것입니다.

 분석 결론은 선택된 수준뿐만 아니라 수준 집합 내의 모든 수준으로 확대될 수 있습니다.

 

 수준 모집단과 각 수준별 관측단위 모집단이 있습니다.

 

 

 몇개의 고등학교가 수준의 모집단을 대표하고 무작위로 선택한 학생이 관측단위의 모집단을 대표할 수 있습니다.

 

(1) 수준들의 모집단

 수준들의 모집단은 비교 대상인 수준들의 집합으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 주의할 점은 i번째로 선택될 수준의 평균을 확률변수로 처리해야 한다는 것입니다.

 

(2) 관측개체에 대한 모형

 관측개체에 대한 모형은 다음과 같이 가정할 수 있습니다.

 

 

(3) 모형의 특징

 모형의 특징은 다음과 같습니다.

 

 

 $\epsilon_{ij}$는 변동성을 의미하며 평균은 0이 됩니다. 

 

 

 분산은 독립이기 때문에 합으로 표현할 수 있습니다.

 

 

 공분산은 각 그룹의 평균으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

(4) 동일 처리 내에서의 관측값들 간의 상관관계

 

 $\rho$가 크다는 것은 전체분산 중 수준 평균의 분산이 차지하는 비율이 높다는 것을 의미합니다.

 또한 동일 수준 내의 두 관측값의 상관관계가 높다는 것을 의미합니다.

 

변량효과모형에서의 관심문제

 변량효과모형에서의 관심문제는 수준에 따라 평균 반응이 다른가? 입니다.

 

 

 귀무가설과 대립가설 설정

 

 

 검정통계량

 

 

 모수 추정

 

 

예시 문제

 고등학교 학업성취도 자료에서 4개의 학교를 무작위로 선택 후 각 학교에서 6명을 무작위로 선택하겠습니다.

 

 

 처리효과에 대한 가설검정은 다음과 같이 할 수 있습니다.

 

 

 검정통계량을 구하기 위한 주요 통계값 구하기

 

 

 검정통계값

 

 

 이는 5% 유의수준에서 학교들 간 학업성취도에 유의한 차이가 없음을 의미합니다.

 

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