[통계학] 고정효과모형의 모형식과 통계적 추론 - 이원배치 분산분석, 반복이 없는 경우

 여인권 교수님의 KMOOC 강의 <통계학의 이해 2>를 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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 요인이 두 개이고 각 처리에 하나의 관측값이 있는 경우, 각 요인의 처리효과를 확인하기 위해 어떻게 모형을 설정하는지 알아보겠습니다.

 

 고정효과 모형 하에서의 통계적 추론을 알아보겠습니다.

 

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이원배치 분산분석

 이원배치 분산분석의 실험을 설계하면 다음과 같습니다.

 

 요인 A의 수준 수는 p, 요인 B의 수준 수는 q일 때 p X q 처리를 완전 확률화 하여 실험을 진행한다고 가정하겠습니다.

 

 자료구조는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

 

 

 여기서 요인A와 요인B가 있는데,

 두 요인 모두 실험자가 결정하는 것을 고정효과모형(fixed effect models)

 두 요인 모두 무작위로 선택하는 것은 변량효과모형(random effect models)

 하나는 실험자가 결정, 다른 하나는 무작위로 선택하는 것은 혼합효과모형(mixed effect models) 입니다.

 

 동일 개체를 반복측정하는 경우에는 상관관계가 존재할 수 있습니다. 이 경우에 변량효과로 처리하게 됩니다.

 

1. 고정효과모형

 이원배치 분산분석에서 고정효과모형의 모형식은 다음과 같이 설계할 수 있습니다.

 

 

 2요인일 경우 전체평균, a의 처리효과, b의 처리효과, 잔류오차로 표현할 수 있습니다.

 

 

변동분해

 이원배치 고정효과모형식을 변동분해하면 다음과 같습니다.

 

 

가설검정

 가설검정은 귀무가설을 요인 A의 처리효과가 없다, 요인 B의 처리효과가 없다. 로 설정합니다.

 

 

분산분석표

 변동분해 값들을 분산분석표로 정리하면 다음과 같습니다.

 

 

 SS는 제곱합, MS는 SS/자유도인 평균제곱, F는 검정통계량입니다.

 MSA, MSB는 설명가능한것이고 MSE는 설명할 수 없는 것입니다.

 

 유의하지 않는 요인의 처리효과는 오차에 흡수시켜 다시 분석합니다.

 

구간추정과 다중비교

 분산분석표를 제작했으니 구간추정과 다중비교를 할 수 있습니다.

 

(1) 처리 평균 추정

 요인 A의 평균을 구간추정하면 다음과 같습니다.

 

 

 $MSE_A$는 MSB를 MSE에 흡수시킨 값입니다.

 

 요인 B의 평균을 구간추정하면 다음과 같습니다.

 

 

(2) 각 요인의 수준에 대한 다중비교

 두 요인의 처리효과가 있는 경우에 다음과 같이 다중비교를 할 수 있습니다.

 

 

 A에는 어떤 다중비교 방법을 이용하냐에 따라 값이 달라집니다.

 

2. 예제 문제

 이원배치 고정효과모형의 예제를 풀어보겠습니다.

 

 원료와 반응온도에 따른 제품의 생산량을 비교하겠습니다.

 원료(요인 A) : 미국 M사, 일본 Q사, 한국 P사

 반응온도(요인 B) : 189, 190, 200, 210

 온도에 따라 차이가 있는지를 확인하는 것이 목적입니다.

 

 자료구조는 다음과 같습니다.

 

 

 이를 바탕으로 분산분석표는 다음과 같습니다.

 

 

 p-값을 보았을 때 두 요인 모두 처리효과가 있다고 판단됩니다.

 이는 원료사와 반응온도에 따라 생산량에 차이가 있다는 것을 의미합니다.

 

 분산분석표를 만들었으니, 구간추정을 할 수 있습니다.

 

 

 여기서 2.447은 자유도가 있는 T분포의 95% 임계값입니다.

 

3. 정리

 요인이 두 개이고 각 처리에 하나의 관측값이 있는 경우, 각 요인의 처리효과를 확인하기 위해 어떻게 모형을 설정하는지 알아보았습니다.

 

 

 고정효과 모형 하에서의 통계적 추론을 알아보았습니다.