[통계학] 회귀분석 - 회귀계수(절편)에 대한 통계적 추론 - 절편의 중심축량과 구간추정

 여인권 교수님의 KMOOC 강의 <통계학의 이해 2>를 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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절편 $\beta_0$ 에 대한 통계적 추론

 회귀계수 중 절편에 해당하는 $\beta_0$의 중심축량과 구간추정에 대해 알아보겠습니다.

 

1. $\hat{\beta_0} = \overline{Y} - \hat{\beta_1}\overline{x}$의 역할

 x가 0일 때 E(Y)의 값이 $\beta_0$ 입니다.

 

 최소제곱법 추정으로 $\beta_0$ 추정과정을 알아보겠습니다.

 

 

 D를 $b_0$으로 미분함으로써 최소로하는 $b_1$과 $b_0$을 찾습니다.

 추정한 $b_1, b_0$를 $\hat{b_1},$\hat{b_0}$으로 표현합니다.

 

 $\beta_0$가 없는 모형에서의 잔차 합은 0이 되지 않을 수 있습니다.

 $b_0$이 0이므로 미분할 필요가 없기 때문입니다.

 따라서 절편을 추론할 때는 $x_i e_i$ = 0 이라는 제약조건 밖에 없습니다.

 E(e) = 0을 만족하지 않습니다.

 

 $b_0$의 포함여부($b_0$ = 0)에 대한 추론을 일반적으로 하지 않습니다.

 가설검정은 안하고 구간추정만 합니다.

 

 절편에 대한 통계적 추론은 설명변수($x_i$)가 0인 상황인 주요한 경우에 해석합니다.

 

2. $\hat{\beta_0} = \overline{Y} - \hat{\beta_1}\overline{x}$의 통계적 성질

 $\hat{b_0}$를 Y들의 선형결합으로 표현할 수 있습니다.

 또한 Y가 정규분포를 따르므로 $\hat{b_0}$도 선형결합을 따릅니다.

 

 

 

 추정한 절편의 기댓값

 

 

추정한 절편의 분산

 

 

 기댓값과 분산을 구했으므로 정규분포로 표현할 수 있습니다.

 

 

 이를 정규화하면 중심축량을 구할 수 있습니다.

 

 

 추정된 절편의 100(1-a)% 신뢰구간을 구할 때 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

 

3. 예제 문제

 

 

 위 자료에서 남자의 자료를 이용하여 단순회귀모델을 설계하고 절편을  추정해보도록 하겠습니다.

 우선, $\hat{\beta_0}$을 구하기 위한 통계값을 구해야 합니다.

 

 

 이를 통해 SE 추정값을 구하면 다음과 같습니다.

 

 

 필요한 통계값을 다 구했으므로 95% 신뢰구간을 구할 수 있습니다.

 

 

4. 정리

 회귀계수 중 절편에 해당하는 $\beta_0$의 중심축량과 구간추정에 대해 알아보았습니다.