[통계학] 회귀분석 - 예측값 평균에 대한 통계적 추론 - 중심축량, 신뢰구간

 여인권 교수님의 KMOOC 강의 <통계학의 이해 2>를 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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예측값 평균에 대한 통계적 추론

 예측값의 평균, E(Y) = $b_0$ + $b_1x$를 추론하기 위한 중심축량과 예측구간을 알아보겠습니다.

 

1. 반응변수 기댓값 E($Y_k$)에 대한 추론

 주의할 점은 $Y_k$를 직접 추론하는 것이 아니라 E($Y_k$)를 추론하는 것입니다.

 

 

 점추정량의 성질에 대해 알아보겠습니다.

 점추정량을 Y들의 선형 결합으로 나타낼 수 있습니다.

 이는 정규분포를 따른다는 것을 의미합니다.

 

 

 추정된 예측값 평균은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

 

 

 분산은 다음과 같습니다.

 

 

 이는 $x_k$가 $\overline{x}$에서 멀어질수록 분산이 커진다는 것을 의미합니다.

 

 평균과 분산을 구했으므로 $\hat{Y_k}$를 정규분포로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 이를 정규화하면 중심축량을 구할 수 있습니다.

 

 

 중심축량을 통해 100(1-a)% 예측구간을 구할 수 있습니다.

 

 

2. 예제 문제

 

 올림픽 육상 100m 우승 기록에서 남자의 자료에 대해 예측값 평균에 대해 통계적 추론을 해보겠습니다.

 

 우선 회귀모델을 설계하고 기울기와 절편을 추론합니다.

 기울기와 절편을 추론하는 방법은 이전 포스팅에 알아보았습니다.

 

 

 위 회귀모델을 이용하여 2024년 우승 기록 평균 예측 값을 구해보겠습니다.

 

 

 2024년 우승기록 평균의 예측구간은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 우선 n, $\overling{x}$, $S_{xx}$, MSE 를 구해야 합니다.

 

 

 이를 통해 예측구간을 구할 수 있습니다.

 

 

3. 정리

 예측값의 평균에 대한 중심축량과 예측구간에 대해 알아보았습니다.