[선형대수학] 1.3 벡터 방정식 - Vector Equations - Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질

이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다.

 

 vectors in $R^n$ : algevraic propreties(대수학적 성질)

 linear combination(선형 결합)과 vector equation(벡터 방정식)의 관계

 Span{}

 

1. 2차원 실수체계에서의 벡터 - Vectors in $R^2$

 $R^2$가 의미하는 것은 2차원 실수체계를 의미합니다.

 

 벡터의 표현 방법으로는 3가지가 있습니다.

(1) 대괄호

 

(2) 좌표

 u=(3,-1), v=(.2,.3)

 

(3) 화살표

 원점에서부터 vector point까지 화살표를 그려 표현합니다.

 

2. 벡터 덧셈 - Vector summation

 2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어졌을 때 덧셈을 할 수 있습니다. 

 

3. 스칼라 곱 - Scalar multiplication

 스칼라와 벡터를 곱할 수 있습니다.

 스칼라는 단 하나의 값을 의미합니다.

 scalar와 vector을 곱하면 vector의 차수를 따르게 됩니다.

 

4. 2차원 실수체계 공간에서의 기하학적 표현 - Geometric descriptions of $R^2$

 벡터를 기하학적으로 표현할 수 있습니다.

 

(1) 벡터의 덧셈 기하학적 표현

 원점에서 vector point까지 화살표를 그리면 됩니다.

 

(2) 스칼라 곱 기하학적 표현

 이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있습니다.

 

5. 3차원 실수체계에서의 벡터 - Vectors in $R^3$

 3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 - Vectors in $R^n$

 3차원이 넘어가게 되면 사람이 상상하기가 어렵습니다.

 하지만 단순히 $R^n$으로 벡터를 확장하는 것은 쉽습니다.

 

7. $R^n$공간에서 대수학적 성질 - Algebraic properties of $R^n$

 이 성질은 얼핏보면 당연해보이지만 이 8가지 성질이 만족하지 않는 세계도 있습니다.

 벡터는 위 8가지 성질을 만족합니다.

 

8. 선형 결합 - Linear combinations

$R^n$ 공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있습니다.

 이것을 weights($c_1, ... , c_p$)가 있는 $v_1, ... ,v_p$의 선형 결합(linear combination)이라고 합니다.

 weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미합니다.

 

9. 벡터 방정식은 선형 시스템의 첨가행렬과 같은 해를 갖고 있다.

 

 vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있습니다.

 살펴보겠습니다. 

 $a_1, a_2, b$가 주어졌을 때 $a_1, a_2$의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있습니다.

 

 이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있습니다.

 $x_1=3, x_2=2$의 solution을 구했습니다.

 

10. Span{$v_1, ... ,v_p$}의 의미

 $v_1, ... ,v_p$가 있을 때 span은 $c_1v_1 + ... + c_pv_p$ 형태의 linear combination을 의미합니다.

 즉, span은 linear combination을 간단히 표현한 것입니다.

 

11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현

 Span{v}는 3차원에서 직선

 Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있습니다.

 u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있습니다.

 

12. b가 Span{$a_1, a_2$}에 존재하는지 확인하기

 a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있습니다.

augmented matrix로 표현

 3번째 방정식이 0=-2입니다.

 이는 이론2에 의하면 no solution을 의미합니다.

 따라서 b는 span{a1,a2}에 없습니다.

 b is not in Span{$a_1, a_2$}

 

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David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.