gilbert strang 교수님의 linear algebra and its applications를 공부하면서 번역과 정리를 해보았습니다.
특이한 경우 - The Singular Case
3개의 평면이 한 점에서 교차하지 않을 때 특이한 경우(The SIngular Case)라고 합니다.
그 경우에 해가 없거나 해가 무수히 많게 됩니다.
하나하나 살펴보겠습니다.
1. 해가 없는 경우 (no solution)
(1) 두 개의 평면이 평행할 때
위 경우에 3개의 평면은 한 점에서 교차하지 않습니다.
두 개의 평면이 평행하기 때문입니다.
2u+v+w=5와 4u+2v+2w=11는 일치하지 않습니다.(inconsistent)
이러한 경우 해가 없습니다.
(2) 세 개의 평면이 평행하지 않는 경우
위 경우는 모든 한 쌍의 평면이 직선으로 교차합니다.
교차한 직선들은 모두 평행합니다.
위 그림에서 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
첫 번째 방정식과 두 번째 방정식을 더했을 때 b가 6이 되지 않습니다.
따라서 이 방정식은 일치하지 않습니다.(inconsistent)
(3) 세 개의 평면이 평행한 경우
오른쪽 항(b)를 바꾸면 평면의 위치를 변경할 수 있습니다.
b가 같을 경우 이 세 평면은 결국 동일한 평면이 됩니다.
2. 해가 무수히 많은 경우(infinity of solutions)
이 경우에 세 평면의 교차로가 하나의 직선이 됩니다.
이를 방정식으로 표현할 시에 다음과 같이 됩니다.
3개 방정식의 결합은 0이 됩니다.
시스템이 특이할 때 column picture
위에서 특이한 경우를 해가 없거나 해가 무수히 많을 때인 것을 배웠습니다.
특이한 경우일 때 column picture에서 어떻게 그려지는지 알아보겠습니다.
우선 특이한 경우일 때 선형 결합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
위 선형 결합에서 3개의 열들은 동일한 평면에 놓이게 됩니다.
이 경우에 해가 없거나 해가 무수히 많게 됩니다.
1. 해가 없는 경우(no solution)
세 개의 column이 동일한 평면에 놓이고 b는 다른 평면에 위치합니다.
이 경우에는 해가 없습니다.
2. 해가 무수히 많은 경우(infinitely many solutions)
b가 3개의 열들과 동일한 평면에 놓여져 있을 때 해는 무수히 많게 됩니다.
b를 만들기 위해 3개의 열들은 무수히 많은 방법으로 결합될 수 있습니다.
3. 3개의 열들이 동일한 평면에 있는지 알 수 있는 방법
합이 0이 되는 열들의 결합을 찾는 것입니다.
여기서 u=3, v=1, w = -2일 때 선형결합의 합은 0이 됩니다.
1열은 열2와 열3의 평면에 놓여있습니다.
만약 n개의 평면에서 교차점이 없거나 무수히 많은 점이 있다면 n개의 열들은 동일한 평면에 놓여져 있는 것입니다.