[선형대수학] 1.1 선형 방정식계 - Systems of Linear Equations - 소거법, 행 상등, 해의 집합, 행 연산, 행렬 표기법

이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다.

 

 선형 방정식 - linear equation

 선형 방정식 계 - sysyems of linea equation

 해의 집합 - solution set

 consistent/inconsistent 의미 - no solution, exactly one solution, infinity many solutions

 행렬 표기법 - matrix notation

 소거법 - elimination

 행 연산 - row operation (replacement, interchange, scaling)

 상등(equivalent)/ 행 상등(row equivalent)

 

1. 선형 방정식 - linear equation

 $x_1, ... , x_n$ 변수로 이루어진 선형 방저식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 여기서 b와 $a_1, ... , a_n$은 실수(real number) 혹은 허수(complex number)인 상수(coefficient)입니다.

 

 선형 방정식이 아닌 경우를 살펴보겠습니다.

 이 두 식은 선형 방정식이 아닙니다.

 $x_1x_2$와 $\sqrt{x_1}$ 때문입니다.

 

2. 선형 방정식 계 - A system of linear equation

 선형 방정식 계(a system of linear equation)은 선형 시스템(linear system)이라는 용어를 사용하기도 합니다.

 선형 방정식 계는 같은 변수들을 포함한 선형 방정식이 1개 또는 그 이상의 집합을 의미합니다.

 위 두 개의 선형방정식은 선형 방정식 계라고 할 수 있습니다.

 

3. 해의 집합 - Solution set

 Solution set은 선형 시스템에서 모든 가능한 해의 집합을 의미합니다.

 

4. 상등 - equivalent

 두 선형 시스템이 같은 solution set을 갖고 있다면 두 선형 시스템은 상등(equivalent)하다고 합니다.

 즉, 같은 solution set을 갖은 선형방정식간의 관계를 행 상등(equivalent)라고 합니다.

 

5. 해가 있다(consistent), 해가 없다(inconsistent)

(1) 해가 없다. - inconsistent

 inconsistent는 no solution을 의미합니다.

 이 처럼 두 직선이 평행하게 되면 교차점이 없습니다.

 이 경우에 no solution(해가 없다)이며, 두 방정식은 inconsistent 합니다.

 

(2) 해가 있다. - consistent

 두 방정식이 consistent 관계에 있으면 (i) 해가 무수히 많다. (ii) 하나의 해가 있다. 두 가지 경우로 해석할 수 있습니다.

 

 해가 하나인 경우 

 

 해가 무수히 많은 경우

 

 즉, 선형 방정식 계는 1. no solution, 2. exactly one solution, 3. infinitely many solution 세 가지 경우를 갖고 있습니다.

 inconsistent는 1. no solution 을 의미하고

 consistent는 2. exactly one solution, 3. infinitely many solution을 의미합니다.

 

6. 행렬 표기법 - matrix notation

 행렬 표기법은 선형 시스템을 행렬로 표현한 것입니다.

 이 3개의 방정식을 행렬로 표기하면 다음과 같습니다.

 

(1) 계수 행렬 - coefficient matrix (3x3)

 계수 행렬은 b를 제외하고 a만을 행렬로 나타낸 것입니다.

 

(2) 첨가 행렬 - augmented matrix (3x4)

 첨가 행렬은 b까지 포함한 행렬입니다.

 

7. 소거법 - elimination

 행 연산(row operation)을 통해 소거법(elimination)을 진행하고 선형 방정식(linear equation)의 해(solution)를 구할 수 있습니다.

 linear algebra and its applications 책에 나와있는 소거법 절차입니다.

 

마지막 행의 $x_1$의 계수를 0으로 만듭니다.

마지막 행의 $x_2$의 계수를 0으로 만듭니다.

마지막 행의 $x_3$의 계수를 1로 만듭니다.

$x_3$을 알았으므로 대입을 이용해 $x_1, x_2$를 구할 수 있습니다.

 

 $x_1=1, x_2=0, x_3=-1$로 one solution을 갖고 있으므로 세 방정식은 consistent 합니다.

 또한 같은 solution set을 갖고 있으므로 row equivalent 합니다.

8. 행 연산 - row operation

 소거법(elimination) 절차에서 3가지 행 연산이 이용되었습니다.

 

(1) replacement

 상수로 곱셈이 된 다른 행을 하나의 행에 더하는 행위

 

(2) interchange

 두 개의 행을 바꾸기

 

(3) scaling

 0이 아닌 상수로 행의 모든 항목을 곱하기

 

9. 행 상등 - row equivalent

 행 연산 과정이 하나의 행렬을 다른 행렬로 변환된다면 두 행렬은 행상등(row equivalent) 하다고 할 수 있습니다.

 두 선형 시스템이 행상등하다면 두 시스템은 동일한 해의 집합을 갖고 있습니다.

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David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.