[선형대수학] 4.2 특성 방정식 - The Characteristic Equation - 유사도(similar), similar transformation

 이번 포스팅에서 특성 방정식(Characteristic equation)에 대해 알아보겠습니다.

 

 characteristic equation은 eigenvalue와 밀접한 관련이 있는 equation입니다.

 

 저번 포스팅에서 공부했던 것을 복습하자면

 주어진 A 행렬의 eigen value를 구할 때 (A - $\lambda$I)x = 0 을 이용합니다.

 A가 eigen value를 갖고 있으려면 Ax=0에서 nontrivial solution을 갖고 있어야 합니다.

 이는 A가 not invertible을 의미하고 det(A) = 0이 되어야 합니다.

 이를 통해 eigenvalue는 3,7 인것을 확인할 수 있습니다.

 

1. 특성 방정식 - The Characteristic Equation

 characteristic equation은 det(A-$\lambda$I) = 0을 의미합니다.

 $\lambda$가 characteristic equation을 만족하면 $\lambda$는 행렬 A의 eigenvalue 입니다.

 

예시 문제

 행렬 A의 characteristic equation을 찾는 문제입니다.

 A는 upper triangular matrix입니다.

 따라서 diagonal term이 eigenvalue가 됩니다.

 det은 diagonal term의 곱 입니다.

 eigenvalue는 5,3,1이 됩니다.

 여기서 eigenvalue 5는 multiplicity 2를 갖습니다.

 

2. 유사도 - Similarity

 n차 방정식에서 eigenvalue를 찾는 것은 쉽지 않아 similarity를 주로 이용합니다.

 

 A = PB$P^{-1}$이 성립할 때 A는 B에 similar 이라고 표현합니다.

 

 similarity transformation은 A = $P^{-1}$AP로 변환하는 transformation을 의미합니다.

 

3. 이론 3. - Theorem 3

 eigenvalue를 찾는 방법으로 한가지를 소개하자면,

 similar한 matrix를 찾아서 eigenvalue를 찾습니다.

 일반적인 경우에 eigenvalue를 구하는 것은 다루기가 어려우므로 특수한 성질을 갖은 matrix의 eigenvalue는 상대적으로 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 A와 B가 similar이고 동일한 characteristic polynomial을 갖고 있으면 두 행렬은 동일한 eigenvalue를 갖습니다.

 eigenvalue는 동일하지만 eigen vector space는 보통 다릅니다.

 

증명

 

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David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.