[통계학] 04-3. 확률(3) - 경우의 수 (조합, 중복조합, 순열, 중복순열)

 

(통계학-기본개념과 원리, 여인권)을 바탕으로 제작하였습니다.

(k-mooc 통계학의 이해1, 여인권)을 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

 

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 표본공간 및 사건의 원소 개수를 효율적으로 계산하는 기본 공식(경우의 수)을 소개하겠습니다.

 

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경우의 수 - the number of cases

 확률을 계산하기 위해 표본공간과 사건에 있는 원소의 개수를 효율적으로 계산하는 것이 중요합니다.

 

 어떤 실험을 했을 때 발생할 수 있는 결과의 개수, 즉 원소의 개수를 경우의 수(the number of cases)라고 합니다. 경우의 수를 계산하는 데 있어 기본 법칙은 곱의 법칙(multiplication)입니다.

 

 곱의 법칙에 의하면 어떤 실험이 m개의 연속된 단계로 이루어져 있고 $i$-번째 단계에서 발생 가능한 결과의 수가 $n_i$라고 하면 전체 실험에서 발생 가능한 경우의 수는 $ n = n_1 \times n_2 \times .... \times n_m $이 됩니다.

 

 

 경우의 수를 계산하는 데 있어 흔히 접하는 문제는 1번부터 n번까지 적혀있는 공이 들어 있는 주머니에서 k개를 무작위로 선택할 때 경우의 수를 계산하는 것입니다. 여기에서 경우의 수는 k개의 공을 어떻게 추출하고 어떻게 나열할 것인지에 따라 달라집니다.

 

 추출방법에는 뽑은 공을 다시 넣고 다음 공을 뽑는 복원(with replacement)추출과 넣지 않는 비복원(without replacemet) 추출이 있습니다. 만약 한꺼번에 k개의 공을 뽑는다고 하면 중복되는 공이 없기 때문에 비복원추출을 한 것으로 이해할 수 있습니다. 복원추출의 경우 매번 선택할 수 있는 것은 n개가 되지만 비복원의 경우 뽑힌 개수만큼 줄어든 것에서 선택해야 합니다.

 

 뽑은 것을 나열하는 데 있어 뽑힌 순서를 고려할 것인지 안할 것인지에 따라 경우의 수가 달라집니다. 예를 들어 순서를 고려하면 (1, 2)와 (2, 1)는 달라 두개가 되지만 순서를 고려하지 않으면 (1,2)와 (2,1)은 각각 하나로 처리됩니다. 만약 뽑은 것을 크기 순서대로 정렬(sorting)한다고 하면 뽑은 순서를 고려하지 않겠다는 것을 의미합니다.

 

 추출방법과 배열 순서에 따른 경우의 수는 다음 표와 같이 네 가지 상황으로 정리되며 이에 대한 계산 방법을 하나씩 알아보겠습니다.

 중복순열 : A를 중복순열이라고 합니다. 순서를 고려하면서 복원추출하여 얻어진 순서열을 의미합니다.

 순열(premutation) : B를 순열이라고 합니다. 순서를 고려하면서 비복원추출 하였습니다.

 중복조합 : C를 중복조합이라고 합니다. 순서를 고려하지 않고 복원추출 하였습니다.

 조합(combination) : D를 조합이라고 합니다. 순서를 고려하지 않고 비복원추출하였습니다.

 

 정리

순서를 고려하면 순열, 순서를 고려하지 않으면 조합이 됩니다.

복원추출을 했으면 중복, 비복원추출이면 그냥 순열과 조합이 됩니다.

 

 

 

순열

 순서를 고려하면서 비복원추출하여 얻어진 순서열입니다. 순열은 각 단계에서 선택할 수 있는 개체의 수가 하나씩 줄어들기 때문에 n개 중에서 k개를 추출할 때 경우의 수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

순열

 

중복순열

 순서를 고려하면서 복원추출한 중복순열은 매번 n개 선택 가능하기 때문에 다음과 같이 구합니다.

중복순열

 

조합

 비복원추출에서 순서를 고려하지 않는다면 (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)과 같이 동일한 번호로 구성된 순서열은 같은 것으로 처리해야 합니다. 이는 k개의 공을 선택했을 때, k X (k-1) X .... X 1 = k!개의 경우와 같은 것이 되어 경우의 수는 한 개로 처리된다는 것을 의미합니다. 그러므로 비복원추출에서 순서를 고려하지 않는 조합의 수는 순서를 고려한 순열이 k!를 나눈 값이 됩니다.

 

$\frac{n!}{k!(n-k)!}$

 

중복조합

 복원추출에서 순서를 고려하지 않은 것이 중복조합입니다. 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

$\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

 

 

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 이상으로 표본공간 및 사건의 원소 개수를 효율적으로 계산하는 기본 공식(순열, 중복순열, 조합, 중복조합)을 공부했습니다. 감사합니다.