[확률론] 이산형 확률분포 - 기하분포

고려대학교 김성범 교수님의 확률/통계 강의와 교재 'Sheldon Ross, A First Course in Probability (10th edition)' 를 공부하고 정리한 내용입니다.

 

 

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기하 분포(Geometric Random Variable)

 독립적인 베르누이 시행을 첫 번째로 성공할 때까지 시행하는 것입니다.

 

 확률 변수 X는 첫 번째로 성공할 때까지 시행한 횟수 입니다.

 

 확률 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

 

 

 n-1번 실패하고 n번째 성공할 확률 입니다.

 

 예를 들어, 5번 시행때 첫 성공이 발생했다면 확률질량함수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

P{X=5} = $(1-p)^4p$

 

 기하 분포는 파라미터 p를 지닌 기하 확률질량함수로부터 발생된 확률들의 분포입니다.

 

 그리고 기하확률질량함수의 모든 합은 1입니다. 

 

 

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기하 분포의 기대값과 분산

 기하 분포의 파라미터는 p(성공확률) 입니다.

 기대값과 분산은 파라미터의 함수이고, 다음과 같이 정의됩니다.

 

 

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기하 분포 예시 문제

 항아리에 N개 흰공, M개 검은공이 들어있습니다. 검은 색공이 뽑힐 때까지 공을 임의로 뽑습니다. 각 공이 복원추출일 때 다음 확률은 어떻게 될까요?

 

 우선 확률 변수를 정의합니다.

 X : 검은색 공이 첫 번째 뽑힐때까지 필요한 횟수

 

 P(흰공) = N/(N+M)

 P(검은공) = M/(N+M) 

 

1) n번째에 검은색 공이 뽑힐 확률

 

 

2) 적어도 k 번째에서 검은 공을 뽑을 확률

 k-1번까지 흰공이 뽑힌 확률을 계산하면 됩니다.