[MML] Ch 2.4 벡터 공간(Vector Spaces)

 

 

 Mathematics for Machine Learning를 공부하고 정리한 포스팅입니다. 

 

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2.4 벡터 공간(Vector Spaces)

 지금까지 연립 밪엉식을 살펴보았고, 어떻게 푸는지를 알아보았습니다. 연립 방정식은 행렬로 간단히 표현할 수 있다는 것을 확인 했습니다. 이제, 벡터로 이루어지는 벡터 공간에 대해 살펴보겠습니다.

 

 이 책 초반부에 벡터는 덧셈과 스칼라 곱이 가능한 객체로 특징지었습니다. 그리고 두 조건을 만족하면 동일한 객체로 간주했었습니다. 이제 이것을 공식화하고 벡터 집합의 요소와 이 요소들로 정의되는 연산을 살펴보겠습니다.

 

2.4.1 군(Groups)

  군에 대한 내용이 나오는데 읽어봐도 잘 모르겠습니다.

 

2.4.2 벡터 공간(Vector Spaces)

 벡터 공간은 두 벡터의 덧셈과 스칼라 곱을 성립하는 벡터들의 집합입니다. 벡터 공간의 요소들은 벡터입니다.

 

 여기서, 아래와 같은 조건을 만족합니다.

 분배 법칙, 결합법칙이 눈에 띄네요. 동일한 벡터 공간내에 있는 두 벡터는 벡터 덧셈, 스칼라 곱, 분배 법칙, 결합 법칙을 성립합니다.

 

 

2.4.3 벡터 부분공간(Vector Subspaces)

 벡터 부분공간도 벡터 덧셈, 스칼라 곱에 닫혀있습니다. 벡터 공간에 포함되는 벡터들이 하나의 공간을 만들면 부분공간입니다. 그리고 0벡터를 포함해야 합니다.

 

 부분공간 예시를 살펴보겠습니다.

 D만이 부분공간입니다. A와 C는 닫힘을 위반합니다. 벡터 덧셈과 스칼라 곱을 만족해야하는데, A와 C는 영역이 제한되어 있네요. B는 0벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아닙니다. 추가적으로 Ax=0의 해는 부분공간입니다. Ax=b의 해는 부분공간이 아닙니다.