[벡터 미적분학] 극점의 일계도함수 판정법(First-Derivative Test for Local Extrema)

극점의 일계도함수 판정법(First-Derivative Test for Local Extrema)

 모든 극점(extremum)은 임계점(critical point) 입니다.

 

 

 함수 f가 n개의 변수를 취하는 실함수이고 미분가능(differentiable)합니다. 그리고 점 x0에서 극점(local extremum)을 갖는다면 Df(x0)=0 이 됩니다. 즉, x0은 함수 f의 임계점(critical point)입니다.

 

 만약 함수의 최대 최소값이나 극점을 찾으려 할때, 임계점들만 고려하면 됩니다. 함수의 최대값과 최소값을 찾는 몇 가지 예제를 풀어보겠습니다.

 

 

 위 함수에서 임계점은 (0,0)만 존재합니다. 그리고 f(x,y) >= 0 이기 때문에 (0,0) 은 극소점(relative minumum)이 됩니다.  (0,0)이 유일한 임계점이기 때문에 최대값은 존재하지 않습니다.

 

 다른 예제를 풀어보겠습니다.

 

 

 위 함수에서 극점을 찾으려면 임계점을 먼저 고려해야 합니다. 위 함수는 원점 (0,0)에서 유일한 임계점을 갖습니다. 이 임계점 주변의 점들을 살펴보면 f(x,0) >= f(0,0), f(0,y) <= f(0,0) 입니다. x와 y는 임의로 작은 값을 취할 수 있기 때문에 이 원점은 극소점 또는 극대점이 아닙니다. 즉, (0,0)은 극점이 아닌 임계점이기 때문에 안장점(saddle point)이 됩니다. 그러므로 이 함수는 극점이 존재하지 않습니다.

 

 

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참고자료 및 그림 출처

Jerrold E. Marsden의 Vector Calculus