이계도함수 판정법(Second-Derivative Test for Local Extrema)
임계점(x0)에서 함수의 이차 편미분 행렬인 헤시안이 양의 정부호(positive definite)이면 x0은 극소점(relative minimum) 입니다. 비슷하게, 임계점에서 함수의 헤시안이 음의 정부호이면 x0은 극대점(relative maximum)입니다.
헤시안 행렬이 양의 정부호, 음의 정부호를 판단하는 방법은 다음과 같습니다.
a가 0보다 크고, B의 determinant가 0 이상이면 헤시안 행렬은 양의 정부호 입니다. 만약, a가 0보다 작고 determinant가 0보다 크면 해시안 행렬은 음의 정부호 입니다.
2x2 보다 큰 nxn 크기의 해시안 행렬에서 양의 정부호는 다음과 같이 판별할 수 있습니다.
nxn 행렬의 헤시안 행렬의 모든 submatrix 의 det가 0보다 크면 양의 정부호 입니다. 만약 모든 submatrix의 det가 0보다 작다면 해시안 행렬은 음의 정부호 입니다. 임계점에서의 함수의 해시안 행렬의 determinant가 0이 아니지만 양의 정부호 또는 음의 정부호가 아닌 경우에 이 임계점을 안장점(saddle point)라고 합니다.
정리하자면, x0이 함수의 임계점(critical point)이고, 헤시안 행렬이 양의 정부호인 경우에 x0은 극소값입니다. 해시안 행렬이 음의 정보인 경우에 x0은 극대값이고 해시안 행렬이 양의 정부호, 음의 정부호 모두 아니지만 determinant가 0이 아닌 경우에 안장점입니다. 만약 determinent가 0이면 퇴화된 형태(degenerate type)이라고 하고 임계점의 성질은 더 조사해야 알 수 있습니다.
이변수수함수에대한 이계도함수 판정법(Second-Derivative Test with two variables)
위에서 살펴본 것은 바탕으로 아래와 같은 결과가 도출됩니다.
참고자료 및 그림 출처
Jerrold E. Marsden의 Vector Calculus
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