[통계학] 32. 두 모집단 비율 비교 - 비율 차, 구간 추정, 신뢰 구간, 중심축량

 여인권 교수님의 KMOOC 강의 <통계학의 이해 2>를 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.

 

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두 모집단 비율 비교

 독립표본을 통해 두 범주로 이루어진 두 모집단의 비율을 비교하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 비율 차에 대한 중심축량과 이를 바탕으로 한 구간추정방법을 알아보겠습니다.

 

1. 모집단 가정과 점추정, 중심축량 구하기

 각각의 모집단은 동일한 두 범주 (S, F)로 나누어져 있다고 가정하겠습니다.

 

 여기서 S는 성공, F는 실패입니다.

 

 또 각각의 표본은 정규분포를 따른다고 가정하겠습니다.

 

 

 관심문제를 설정하겠습니다.

 

 

 4번이 통계적 성질은 가장 좋지만, 형태가 어려우므로 이 강의에서는 1번 비율차에 대해서 다뤘습니다.

 

 두 모집단에서 베르누이 시행으로 표본을 추출했다고 가정하겠습니다.

 

 

 모집단을 가정 했으므로 비율차에 대한 점추정을 하고 통계적 성질을 나타내보겠습니다.

 

 베르누이 시행이므로 점추정량은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.

 

 

 정규분포로 근사했으므로 점추정량을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 비율 차에 대한 통계적 성질입니다.

 

 

 비율차를 중심극한정리를 통해 중심축량을 구할 수 있습니다.

 

 

 정규근사가 되기 위해서는 다음과 같은 조건이 필요합니다.

 

 

2. 두 모집단 비율 차의 구간 추정

 중심축량을 구했으므로 구간추정을 할 수 있습니다.

 

 비율차에 대한 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

 

 

3. 정리