[확률론] 독립 사건

 고려대학교 김성범 교수님의 확률/통계 강의와 교재 'Sheldon Ross, A First Course in Probability (10th edition)' 를 공부하고 정리한 내용입니다.

 

 

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독립 사건(Independent Events)

 이번 포스팅에서는 독립 사건에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 사건 A와 B가 독립이면 P(B l A) = P(B) 가 됩니다. 이것은 어떤 의미를 갖고 있을 까요??

 사건 A가 발생하던 말던 사건 B의 확률이 동일하다는 것을 의미합니다.

 그리고 이를 사건 A와 B가 독립(independent)이라고 합니다.

 

 P(B l A) = P(B)에서 조건부확률을 교집합으로 표현해보도록 하겠습니다.

 

 P(B l A) = P(BA) / P(A) = P(B) 가 됩니다.

 이를 정리하면 P(AB) = P(A)P(B) 가 됩니다.

 

 이처럼 사건 A,B가 독립일 경우 A와 B의 교집합은 각각의 곱으로 표현할 수 있습니다.

 그리고 두 사건이 독립인지 확인하려면 P(AB) = P(A)(B) 를 성립하는지 확인하면 됩니다.

 

 두 개의 사건이 아닌 n 개의 사건으로 확장할 수 있습니다.

 P($A_1,A_2, ... ,A_n$) = P($A_1$)P($A_2$) ... P($A_n$)

 

독립 사건 예시 문제 1

 독립 사건을 이용한 예시 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

 작은 마을에서 한 개의 소방차와 한 개의 응급차를 갖고 있습니다. 도움이 필요할 때 소방차를 이용할 수 있는 확률은 0.98이고, 응급차를 이용할 수 있는 확률은 0.92 입니다. 건물에 불이났을 때, 소방차와 응급차 둘 다 이용가능한 확률은 어떻게 될까요? 응급차와 소방차는 독립적으로 운행된다고 가정하겠습니다.

 

 우선 각 확률을 정의해보겠습니다.

 

P(소방차) = 0.98

P(응급차) = 0.92

 

 문제에서 묻는 것은 P(소방차 응급차) 입니다. 두 사건은 독립이므로 교집합은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

 P(소방차 응급차) = P(소방차) * P(응급차) = 0.996

 

독립 사건 예시 문제 2

 2개의 주사위를 굴려 세 가지 사건이 생성되었습니다.

 E1 = {합이 6}, E2 = {합이 7}. E3 = {첫 번째 주사위가 4}

 

(1) E1과 E2이 독립인 것을 증명하기

 P(E1E2) = P(E1) * P(E2) 가 성립하는지 확인해 보면 됩니다.

 P(E1E2) = 0

 P(E1) * P(E2) = 5/36 * 6/36 

 

 성립하지 않으므로 E1과 E2는 종속입니다.

 

(2) E1과 E3은 독립인가요?

 P(E1E3) = P(E1) * P(E3) 이 성립하면 두 사건은 독립이 됩니다.

 P(E1E3) = 1/36, P(E1) * P(E3) = 5/36 * 6/36 이므로 성립하지 않습니다.

 따라서 두 사건은 종속입니다.

 

(3) E2와 E3은 독립인가요?

 P(E2E3) = 1/36

 P(E2) * P(E3) = 1/36

 

 P(E2E3) = P(E2) * P(E3) 이 성립하므로 두 사건은 독립입니다.

 

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독립 사건의 성질

  사건 E와 F가 독립이면 E와 $F^c$도 독립입니다.

 

증명

 사건 E와 F가 독립이라고 가정하겠습니다. 따라서 E = EF $\cup$ E$F^c$이고, EF와 E$F^c$는 상호 배반입니다. 따라서 식을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 

 따라서 E와 F가 독립이면, E가 발생할 확률은 F가 발생했는지 안했는지에 대한 정보에 의해 변경되지 않습니다.

 

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사건이 3개인 경우 독립 사건

 다음을 만족할 때, 사건 E, F, G는 독립입니다.

 

 

 그리고 만약 사건 E, F, G가 독립이면 E는 F와 G로 형성된 어떤 사건들과도 독립입니다.

 예를 들어 E와 F $\cup$ G가 독립인지 확인하겠습니다.

 

 

 이를 통해 사건 E와 F $\cup$ G는 독립이라는 것을 확인할 수 있습니다.

 

 몇 가지 예시 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

예시 문제 1

 독립 시행이 연속적으로 무한번 시행됬다고 하겠습니다. 각 시행 결과는 성공 확률 p, 실패 확률 1-p입니다.

 

(1) n번 시행해서 적어도 1번 이상 성공할 확률

 n번 시행해서 모두 실패할 확률을 1에서 빼주면 구할 수 있습니다.

 1 - P(all n fail) = 1 - $(1-p)^n

 

(2) n번 시행해서 정확히 k번 성공이 발생할 확률

  이 확률을 구할려면 조합의 개념이 필요합니다.

 

 

 n번 중 k번 성공하고 n-k번은 실패할 확률입니다.

 

(3) 모든 시행이 성공할 확률

 각 시행이 성공할 확률은 p입니다 따라서 모든 시행이 성공할 확률은 $p^n$이 됩니다.

 이를 확장하면 다음과 같습니다.

 

 

예시 문제 2

 다음과 같이 n개의 분리된 요소로 구성된 시스템을 병렬 시스템이라고 합니다. 만약 하나의 요소라도 작동한다면 병렬 시스템은 작동하게 됩니다. 이러한 시스템은 각 요소 i가 다른 요소들과 독립입니다. 각 요소가 작동할 확률을 p라고 할때, 시스템이 작동할 확률은 어떻게 될까요?

 

 

 1에서 모든 요소가 작동하지 않을 확률을 빼주면 구할 수 있습니다.

 

 1 - P(all n fail) = 1 - {$(1-p)^n$}

 

예시 문제 3

 두 쌍의 주사위로 구성된 독립된 시행이 수행되었습니다. 두 주사위의 합이 5가 합이 7인 경우 전에 발생할 확률은 어떻게 될까요?

 

 우선 각 사건의 확률을 정의합니다.

P(S = 5) = 4/36

P(S = 7) = 6/36

 

 합이 5와 7이 발생하지 않을 확률을 정의합니다. 이는 1- P(S=5 $\cup$ S=7)로 구할 수 있습니다.

 1-P(S=5 $\cup$ S=7) = 1 - (10/36) = 26/36

 

 첫 번째 시행에서 5가 나올 확률

 P(E1) = 4/36

 

 이전 시행에서 5와 7이 나오지 않고 두 번째 시행에서 5가 나올 확률

 P(E2) = 26/36 * 4/36

 

 이전 시행에서 5와 7이 나오지 않고 세 번째 시행에서 5가 나올 확률

 P(E3) = 26/36 * 26/36 * 4/36

 

 이를 확장하면 다음과 같습니다.

 P(En) = $(26/36)^n$ * 4/36 = 2/5