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경계점(Boundary Points)
x의 근방(neighborhood of x)는 x를 포함하는 열린 집합을 의미합니다. 경계점은 모든 x의 근방이 적어도 A의 한 점을 포함하고, 동시에 A에 속하지 않는 점을 포함하는 경우에 x를 A의 경계점(boundary point)이라고 합니다.
위 정의에서 x는 A에 속할수도, 속하지 않을 수도 있습니다. 만약 x가 A에 속한다면, x의 근방이 적어도 A에 속하지 않는 점을 하나라도 포함해야 경계점이 됩니다. x가 A에 속하지 않는 경우에는 x의 근방이 A에 속하는 점을 적어도 하나를 포함해야 경계점이 됩니다.
open set의 정의에 따르면, open set에 존재하는 점 x는 경계점이 될 수 없습니다. open set에 포함되어 있는 점은 open set의 거리 r보다 작은 곳에 존재하기 때문입니다. 따라서 x가 A안에 속하지 않고, x의 근방이 A와 교집합이 존재한다면 x는 경계점이 될 수 있습니다. 좀 더 정확한 표현으로 A의 경계점은 A의 모서리로 표현할 수 있습니다.
위 그림에서 점 a와 b가 경계점이 됩니다.
위 그림에서 open disk의 중심점과 점의 거리가 open disk의 반지름 r에 해당하는 경우에만 경계점이 됩니다.
참고자료
Jerrold E. Marsden의 Vector Calculus
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