[벡터 미적분학] 레벨 집합에서 그래디언트와 접평면(Gradients and Tangent Planes to Level Sets)

레벨 집합에서 그래디언트와 접평면(Gradients and Tangent Planes to Level Sets)

 level surface와 함수 f의 그래디언트 사이의 관계를 살펴보겠습니다. level surface는 함수 f의 값을 상수로 두고, 그 상수를 만족하는 점들의 집합을 나타낸 것입니다. 그래디언트는 함수 f의 값이 가장 빠르게 변화하는 방향을 나타냅니다. 이에반해 level surface는 f의 값이 전혀 변하지 않는 방향으로 놓여져 있습니다. level surface와 그래디언트는 직교합니다.

 

 

 그래디언트와 level set은 수직이라는 것을 알았습니다. 그래디언트에 수직인 평면인 접평면을 정의하는 법을 알아보겠습니다.

 

 

 그래디언트와 level surface는 수직이므로, 둘을 내적하면 0이 됩니다. 따라서 그래디언트와 내적을 했을 때, 0이 되는 벡터가 접평면이 됩니다.

 

 surface에 접하는 평면 방정식을 찾는 예시 문제를 풀어보겠습니다.

 

 

그래디언트 벡터 장(The Gradient Vector Field)

 $\triangledown$f를 그래디언트 벡터 장으로 말할 수 있습니다. 벡터장은 f의 정의역에 존재하는 모든 점에 대해 $\triangle$f를 할당하는 것을 의미합니다. 

 

 

 각 점 P에 대해 $\triangledown$f(P)는 점 P에서 나오는 벡터입니다.

 

 그래디언트 벡터 장은 f가 가장 빠르게 증가하는 방향과 level surface에 직교하는 방향을 나타냅니다. h가 두 개의 변수를 취하는 높이 함수일 때, h의 level curve를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

 

 

 그리고 이것을 언덕의 level contours라고 합니다. 이 언덕에서 가장 빠르게 정상으로 가는 방법은 level contours에 직교하는 방향으로 걷는 것입니다. level curves에 직교하는 방향은 함수 f가 가장 빠르게 증가하는 방향이며, 그래디언트가 나타내는 방향입니다.

 

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참고자료 및 그림 출처

Jerrold E. Marsden의 Vector Calculus