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이번 포스팅에서 공부할 내용은 다음과 같습니다. 크라메이 법칙 - Cramer's Rule 역행렬 공식 - Inverse formula 면적과 부피에서 행렬식 - Determinants as area and volumn 선형 변환 - Linear transformation 1. 크라메이 법칙 - Cramer's Rule Cramer's Rule을 사용하기 위해서는 새로운 정의가 필요합니다. A의 i th column을 b로 치환한 것을 $A_i(b)$로 표현하겠습니다. 2. 이론 7. 크라메이 법칙 - Theorem 7. Cramer's Rule A가 n x n 크기의 invertible 행렬일 때 Ax=b의 해는 다음과 같이 구할 수 있습니다. $A_i(b)$는 A행렬의 i th culumn을 b로 치..

이번 포스팅에서 배울 내용은 행 연산에 의한 행렬식 변화 - Determinant changes by row operations det $\neq$ 0 det $A^T$ = det A det AB = (det A)(det B) 입니다. 1. 이론 3. 행 연산 - Theorem 3. Row Operations a. A의 하나의 row 곱이 다른 row에 더해져 B 행렬이 만들어지면 det B = det A 입니다. 이는 row replacement를 의미합니다. b. B를 만드기 위해 A의 두개의 row가 interchange 됬으면 det B = -det A 입니다. c. A의 하나의 row에 k가 곱해져 B가 만들어졌으면 det B = k det A 입니다. scaling을 의미합니다. 이 세가지 성..

이번 포스팅에서 알아볼 내용은 차원과 계수(Dimension and Rank)입니다. 좌표계와 좌표벡터 - Coordinate system and coordinate vector 차원 - Dimension 계수 - Rank 에 대해 공부하고 정리해보았습니다. 1. 부분공간에서의 기저 - Basis for a Subpace 차원과 계수, 좌표계를 알아보기 전에 기저(basis)를 복습하겠습니다. basis는 independent set으로 표현되는 최소한의 vector를 의미합니다. u와 v는 independent 관계이며 Span{u,v}는 $R^3$공간에서 2차원 평면을 표현합니다. Span{u,v}뿐 아니라 Span{u,w}와 Span{v,w}도 basis가 될 수 있습니다. u와 w, v와 w는 i..

이번 포스팅에서는 $R^n$ 공간에서의 부분공간(Subspaces)과 기저 대해 공부하겠습니다. 공부할 내용은 다음과 같습니다. $R^n$ 공간에서의 부분공간 - Subspace of $R^n$ 열 공간 - column space 영 공간 - null space 부분공간에서의 기저 - basis for subspace 1. $R^n$ 공간에서의 부분공간 - Subspace of $R^n$ 부분 공간(subspace)를 H로 표현합니다. H가 위 세 가지 조건에 부합하면 부분 공간이라고 합니다. a. zero vector가 H set에 존재해야 합니다. b. H에 있는 임의의 벡터 u와 v를 더한 u + v이 H안에 있어야 합니다. c. H에 있는 임의의 벡터 u에 스칼라 c와 곱한 값 cu이 H안에 있어..

이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다. 행렬 방정식(matrix equation) Ax=b 이론 3: linear system은 3가지 관점으로 볼 수 있으며 모두 동일한 해를 갖고 있습니다. 이론 4: A의 필요충분 조건 행렬 방정식을 빠르게 계산하는 내적 1. Ax : A 곱하기 X의 의미 - product of A and X A는 columns($a_1, ... , a_n)로 이루어진 mxn 행렬입니다. x는 $R^n$ 공간에 있습니다. Ax를 표현하면 다음과 같습니다. 이것은 x를 weights로 사용한 A의 columns의 linear combination입니다. 즉, x는 scalar의 vector입니다. 2. 행렬 방정식(Matrix equation) 풀기 행렬 방정식을 풀어보겠습니다..

gilbert strang 교수님의 linear algebra and its applications를 공부하면서 번역과 정리를 해보았습니다. 1.2 선형방정식의 기하학 - The Geometry of Linear Equations 선형방정식의 기하학을 이해하기 위한 방법으로 예시를 보겠습니다. 이 방정식을 rows와 columns 두 가지 관점에서 볼 수 있습니다. 1. 행(rows) 관점으로 접근 위 방정식은 2차원에 간단하게 표시할 수 있습니다. 2x - y = 1를 x-y평면에서 직선으로 표시됩니다. 이 직선은 (x=1, y=1), (x=1/2, y=0), (x=2, y=3)을 지나갑니다. x + y = 5는 기울기가 -1인 직선이며 이 직선은 첫번째 직선과 해(solution)에서 교차하게 됩니다..

gilbert strang 교수님의 linear algebra and its applications를 공부하면서 번역과 정리를 해보았습니다. Ch 1 행렬과 가우시안 소거법 1.1 개요 - Introduction 선형 방정식을 풀 때, 미지수와 방정식의 수가 같으면 가장 간단하고 쉽습니다. 미지수가 2개 방정식이 2개 인 경우를 보겠습니다. 미지수는 x와 y입니다. 위 선형방정식을 풀기 위해 소거법과 행렬식 두 가지 방법을 소개하겠습니다. 1. Elimination - 소거법 방정식2 - 4 X 방정식1을 하면 방정식2에서 x가 소거됩니다. 그러면 방정식2는 y에 대한 방정식이됩니다. 이것을 방정식1에 대입하면 x를 구할 수 있습니다. 2. Determinants - 행렬식 행렬식을 이용하면 위 선형방정..